多项式函数列随着次数增大零点越来越靠近无穷远

问题

对于任意的$\epsilon >0$，证明对于足够大的$n$都有:

的所有零点都在圆盘$D(0,\epsilon )$内。

1. 证明

因为这个形式非常酷似$e^z$的部分展开的形式，也就是说，如果$w=\frac{1}{z}$,$g_n(w)=1+w+\frac{w^2}{2!}+...+\frac{w^n}{n!}$.并且很显然在任何紧集上,$g_n(w)\rightrightarrows e^w$.

像这种换元在求幂级数的收敛半径当中其实遇到很多，在那种问题里面通常是把无穷大的邻域内的问题转换到0的邻域内的问题。而这个问题正好相反，可以把0的邻域的问题转换到无穷大的邻域里面。

在这个问题中原来的问题要求证明对于足够大的n，所有的$f_n$的零点都在$D(0,\epsilon )$内，那么这个问题转换为$g_n(w)$的问题就是，对于足够大的n没有零点在$D(0,\frac{1}{\epsilon })$内部。这一点是显然的，因为由Hurwitz定理，在$D(0,\frac{1}{\epsilon })$内，函数$g(w)=e^w$没有零点存在，也就是说对于任意的 $\epsilon >0$存在一个 $N_{\epsilon }$ 使得所有$n>N_{\epsilon }$都有，$g_n(w)$在 $D(0,\frac{1}{\epsilon })$内同样没有零点.于是原来的问题也得到了证明。

或者可以直接用argument principle，比如令$t_n$表示$g_n(z)$在$D(0,\frac{1}{\epsilon })$内的；零点的数量，

也就是说$\{t_n\}$当中存在聚点0,但是元素每一个都是整数，除非存在一个$N_{\epsilon }$使得所有$n>N_{\epsilon }$都有$t_n=0$,这样便同样证明了这个问题。

2. argument principle的一个典型应用的具体例子

因为argument principle通常并不能直接用于计算在某个闭曲线当中围成区域内部(用卷绕数判定内部外部)的零点个数。比如最简单的多项式，如果要计算$Q(z)=\frac{P^{\prime }(z)}{P(z)}$这个积分在不知道根的分布的情况下，就不现实。

但是$g(w)=e^w$这个例子就很好，因为这个情况很好算。 

2.1 使用Hurwitz定理的时候需要注意

==对于圆盘$D_R$而言，一定要保证函数在圆盘内部不恒为0，其次是需要保证函数 $f$在圆盘在边界上不能有零点。==因为在证明的时候我们会需要用到这个条件，从而根据连续性得到$|f(z)|\ge c_0>0$在圆盘的边界上，从而证明在圆盘的边界上

否则的话可以看看这样的反例:

反例

$f_n(z)=z+\frac{(-1{)}^n}{n}$其极限为$f(z)=z$，圆盘为 $D_1=\{z:|z+1|<1\}$。极限函数在圆盘内部没有零点，但是一致收敛的函数列始终有一个零点。这里的根本原因是，$f(z)=z$在圆盘的边界上存在零点。