对一个含参数的和的估计以及控制收敛定理2

问题1

求$S_n$的极限: $S_n:={\sum }_{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n+\frac{1}{k}}$

1. 逐项估计

尝试做逐项估计，对于$f_n(k)=\frac{5^{k/n}}{n}\frac{1}{1+\frac{1}{nk}}$,我们想到用Taylor公式做渐近展开:$f_n(k)=\frac{5^{k/n}}{n}\left(1-O\left(\frac{1}{nk}\right)\right)$这样做是可行的，因为其中主项的和可以视为${\int }_0^1{5}^{x}dx$的黎曼和，而余项的和，如果一切顺利，那么得到$o(1)$的估计并不是非常困难的事情。

接下来还要保证，主线估计的渐近结果是可以求和的，即其中$O\left(\frac{1}{nk}\right)$携带的常数是与$n,k$都没有任何关系的常数。而要保证这一点，我们需要保证$x=0$的邻域上函数导数$-\frac{1}{(1+x{)}^2}$是有界的。而此处当$n$比较大的时候，我们是可以保证$\frac{1}{nk}<1/2$对任意$k\le n$都是成立的，因此导数$-\frac{1}{(1+x{)}^2}$在这种情况下是有界的，因此渐近结果是可以关于$k$求和的。

于是 $\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n+\frac{1}{k}}& =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{1+\frac{1}{nk}}\\ & =\sum _{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n}\left(1-O\left(\frac{1}{nk}\right)\right)\\ & =\sum _{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n}-O\left(\sum _{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n^{2}k}\right)\end{array}$

• 首先第一项：${\sum }_{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n}\to {\int }_0^1{5}^{x}dx=\frac{4}{\log (5)}$

• 对于后面的项做较为粗糙的逐项即可，没有必要真的搞出最精确的渐进结果，毕竟需求只要求到常数项：${\sum }_{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n^3}<{\sum }_{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n^{2}k}<{\sum }_{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n^2}$既然，${\sum }_{k=1}^n\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n}\to {\int }_0^1{5}^{x}dx=O(1)$，那么我们可以知道第二项一定是一个$o(1)$的项目。

那么最后的极限的结果就是 $\frac{4}{\log (5)}$

2. 控制收敛定理为什么失效?

令$\mu$是$\mathbb{N}$上的离散测度，那么$\begin{array}{rl}{S}_n& :={\int }_1^n{f}_n(k)d\mu (k)\\ & ={\int }_{\mathbb{N}}\frac{5^{\frac{k}{n}}}{n+\frac{1}{k}}{1}_{[1,n]}(k)d\mu (k)\end{array}$ 如果控制收敛定理成立，那么由于$f_n(k)\to 0$,那么按照道理$S_n\to 0$这显然是不对的。那么哪里出了问题?因为虽然$f_n(k)$是有界的，但是上界在计数测度下的积分并不是可积的，因此控制收敛定理实际上是不成立的。