常见积分法

除常用的三类积分法，组合积分法，递推法之外，运用下列初等方法对解决不定积分问题也有极高的效率

1. 双换元积分法

双换元法源于全微分，以双主元的形式解决不定积分问题，此法较为灵活，对积分因子的记忆要求高，详细可参考积分因子法与分项组合

核心想法

构造$x^2\pm y^2=1$ 从而有$xdx=\pm ydy$这对处理分母根式帮助极大 常见的结论有:$x^2+y^2=1$时$\int \frac{dx}{y}=arctan\frac{x}{y}$ $x^2-y^2=1$时$\int \frac{dx}{y}=ln(x+y)$ 还有一个不怎么常见但很有用的$\int \frac{dx}{y^3}=\frac{x}{y(y^2\pm x^2)}$ 此外还有常见公式$\int ydx=\frac{1}{2}xy+\frac{y^2\pm x^2}{2}\int \frac{dx}{y}$

通常来讲上述公式用常微的方法容易证明，此处证明略

命题1

求积分$\int \sqrt{\frac{e^x-1}{e^1+1}}dx$ 设$m=e^x,n=\sqrt{e^{2x}-1}$ 则原积分可表示为 $\int \frac{dm}{n}-\int \frac{dm}{mn}$ $=ln(m+n)-\int \frac{dn}{m^2}$ $=ln(m+n)-\int \frac{dn}{n^2+1}$

命题2

求积分$\int \frac{dx}{x^8(x^2+1)}$ 设$y=\sqrt{x^2+1}$ 则$\int \frac{y^2-x^2}{x^8{y}^2}dx$ $=-\frac{1}{7x^7}-\int \frac{dx}{x^6{y}^2}$ 由此可见其存在递推关系,结果略

2. Euler积分法

以繁琐计算力著名的欧拉积分法能完美解决大多数根式积分，是一种我死都不会想用的死板方法

在$a{x}^2+bx+c$无重根的条件下，可以使用如下欧拉代换

第一类欧拉积分法

若$a>0$，则$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$

第二类欧拉积分法

若$c>0$，则$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=xt\pm \sqrt{c}$

第三类欧拉积分法

if $a{x}^2+bx+c=a(x-m)(x-n)$ 则 $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t(x-m)$ 其中t可被表示为$\sqrt{\frac{a(x-n)}{x-m}}$

3. 双曲积分法

作为三角换元的上位替代，双曲换元有着更强的可处理性 常用恒等式与三角函数类似，但注意以下区别 $c{h}^{2}x-s{h}^{2}x=1$ $1=t{h}^{2}x+sec{h}^{2}x=ct{h}^{2}x-csc{h}^{2}x$ $ch(x\pm y)=chxchy\pm shxshy$ $th(x\pm y)=\frac{thx\pm thy}{1\pm thxthy}$ $ch2x=c{h}^{2}x+s{h}^{2}x=2c{h}^{2}x-1=1+2s{h}^{2}x$ $arshx=ln(x+\sqrt{x^2+1})$ $archx=ln(x+\sqrt{x^2-1})$ $arscshx=ln(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1})$ $arsechx=ln(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1})$ $arthx=\frac{1}{2}ln(\frac{1+x}{1-x})$ $arcthx=\frac{1}{2}ln(\frac{1+x}{x-1})$

命题1

求不定积分$\int x^2\sqrt{x^2+1}dx$

令$x=sht$则 原式$=\int s{h}^{2}tc{h}^{2}tdt$ $=\frac{1}{4}\int s{h}^{2}2tdt$

命题2

求不定积分$\int \sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}dx$

令$x=sht$则 原式$\int cht\sqrt{sht+cht}dt$ 展开得$\frac{1}{2}\int (e^{\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t})dt$ 求出原函数后再转化为$\frac{1}{3}(sht+cht{)}^{\frac{3}{2}}-(sht+cht{)}^{\frac{1}{2}}$

4. 奥斯特罗格拉茨基积分法（the ostrogradsky method of integration）

作为待定系数法的上位替代，其能更高效得处理复杂分式 任意有理真分式满足$\frac{P(x)}{Q(x)}=[\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}{]}^{\prime }+\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$ 上式称为奥斯特罗格拉茨基公式，可通过实系数多项式因式分解定理加以证明 在不定积分中，$\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$为$\frac{P(x)}{Q(x)}$的有理部分，且有下列公式 $\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\int \frac{P_2(x)}{Q_2(x)}dx$

命题1

解不定积分$\int \frac{xdx}{(x-1{)}^2(x+1{)}^3}$

尝试进行拆分： $Q_1=x^3+x^2-x-1and{Q}_2=x^2$ 通过待定系数可得原积分与 $-(\frac{x^2+x+2}{8(x-1)(x+1{)}^2}{)}^{\prime }-\frac{dx}{x^2-1}$ 等价，易求解

命题2

求不定积分$\int \frac{dx}{(x^4+1{)}^2}$

仿照命题1，设$Q_1=Q_2=x^4+1$ 则有$\frac{x}{4(x^4+1)}+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{x^4+1}$ 显然对$x^4+1$裂项易求得结果 或可考虑$\int \frac{dx}{x^n+1}$ 使用级数展开也可求解