极大函数

1. 单侧极大函数

在一维情形下，极大函数的基本不等式有一个以恒等式形式出现的版本，即“单侧”的极大函数。

定义极大函数：

$f_{+}^{\ast }(x)={\sup }_{h>0}\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}|f(y)|dy$

和区间

$E_{\alpha }^{+}=\{x\in \mathbb{R}:f_{+}^{\ast }(x)>\alpha \}$ 那么满足：

$m(E_{\alpha }^{+})=\frac{1}{\alpha }{\int }_{m(E_{\alpha }^{+})}|f(y)|dy$

1.1 证明

核心思路

整个定理的核心在于利用升阳引理，将区间划分成可数多个，每个区间两端点值相等导出等式，进而证明。

这个区间是关键，我们把$f_{+}^{\ast }(x)$代入然后去拆解这个区间：

因为是上极限，所以必然存在一个$h$使得${\int }_x^{x+h}|f(y)|-h\alpha >0$ 这个上下限能继续拆分一下： ${\int }_0^{x+h}|f(y)|dy-(h+x)\alpha >{\int }_0^x|f(y)|dy-x\alpha$ 简写成函数： $F(x+h)>F(x)$

这样区间就能改写$E_{\alpha }^{+}=\{\exists x>y,s.t.F(x)>F(y)\}$ 由Riesz引理我们可以把区间划分成不交并$E_{\alpha }^{+}=\bigcup _k(a_k,b_k)$,其中端点处满足$F(a_k)=F(b_k)$

这样一来直接把等式还原成积分形式： ${\int }_{b_k}^{a_k}|f(y)|dy=a(a_k-b_k)$ 那么结论就呼之欲出了$m(E_{\alpha }^{+})={\sum }_k\frac{1}{\alpha }{\int }_{b_k}^{a_k}|f(y)|dy=\frac{1}{\alpha }{\int }_{m(E_{\alpha }^{+})}|f(y)|dy$

2. 双测极大函数

在更一般的标准 Hardy-Littlewood 极大函数我们只能得到不等式： $m(\{f^{\ast }>\alpha \})\le \frac{3^d}{\alpha }\Vert f{\Vert }_1$

对于 ${\mathbb{R}}^d$ 上的局部可积函数 $f$，其极大函数定义为： $f^{\ast }(x)={\sup }_{r>0}\frac{1}{m(B(x,r))}{\int }_{B(x,r)}|f(y)|dy$ 其中 $B(x,r)$ 是以 $x$ 为中心、半径为 $r$ 的球（在一维情形下即区间 $(x-r,x+r)$）。

在一维的情况下最佳系数实际上是2，这是因为整个定理过程是基于Vitali覆盖引理的可微性

2.1 证明

$E_{\alpha }$ 是开集（因为 $f^{\ast }$ 是下半连续函数）。根据勒贝格测度的正则性，对于任意满足 $m(K)<m(E_{\alpha })$ 的紧集 $K\subset E_{\alpha }$，我们只需证明 $m(K)\le \frac{3^d}{\alpha }\Vert f{\Vert }_1$。

对于 $K$ 中的任意点 $x$，由于 $f^{\ast }(x)>\alpha$，根据上确界的定义，存在半径 $r_x>0$，使得球 $B_x=B(x,r_x)$ 满足： $\frac{1}{m(B_x)}{\int }_{B_x}|f(y)|dy>\alpha ⟹m(B_x)<\frac{1}{\alpha }{\int }_{B_x}|f(y)|dy$ 显然，族 $\mathcal{B}=\{B_x{\}}_{x\in K}$ 构成了紧集 $K$ 的一个开覆盖。

根据有限形式的 Vitali 覆盖引理(参考可微性中的证明）：

存在有限个互不相交的球 $B_1,B_2,\dots ,B_N$（其中 $B_j=B(x_j,r_j)$），使得它们的 3 倍扩充球 $3B_j$（同心，半径为 $3r_j$）覆盖了 $K$。 即： $K\subset {\bigcup }_{j=1}^{N}3B_j$

则有 $m(K)\le m\left({\bigcup }_{j=1}^{N}3B_j\right)\le {\sum }_{j=1}^{N}m(3B_j)=3^d{\sum }_{j=1}^N\left(\frac{1}{\alpha }{\int }_{B_j}|f(y)|dy\right)$ 再说明$B_i$是不交的积分具有可加性即可。