行列式 | 阿的宝藏之地

1. 爪型行列式

其中 $a_{i} \neq = 0$ 。

det A = a_{1} c_{2} c_{3} ⋮ c_{n} b_{2} a_{2} 0 ⋮ 0 b_{3} 0 a_{3} ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots b_{n} 00 ⋮ a_{n}

det A = (a_{1} - i = 2 \sum n \frac{b _{i} c _{i}}{a _{i}}) i = 2 \prod n a_{i}

去掉 $a_{i} \neq = 0$ 的限制，展开形式仍有：

det A = i = 1 \prod n a_{i} - i = 2 \sum n a_{2} \dots \overset{a_{i}}{^} \dots a_{n} b_{i} c_{i}

其中 $\overset{a_{i}}{^}$ 表示 $a_{i}$ 不在连乘中。

问题 1

计算 $n$ 阶行列式，其中 $a_{i} \neq = 0 (1 \leq i \leq n)$ ：
$∣ A ∣ = x_{1} - a_{1} x_{1} x_{1} ⋮ x_{1} x_{2} x_{2} - a_{2} x_{2} ⋮ x_{2} x_{3} x_{3} x_{3} - a_{3} ⋮ x_{3} \dots \dots \dots \dots x_{n} x_{n} x_{n} ⋮ x_{n} - a_{n}$

第一行乘以 -1 依次加到其余各行上去，可得：

∣ A ∣ = x_{1} - a_{1} a_{1} a_{1} ⋮ a_{1} x_{2} - a_{2} 0 ⋮ 0 x_{3} 0 - a_{3} ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots x_{n} 00 ⋮ - a_{n}

这是一个爪型行列式：

∣ A ∣ = (- 1)^{n - 1} a_{2} \dots a_{n} (x_{1} - a_{1} + i = 2 \sum n \frac{a _{1} x _{i}}{a _{i}}) = (- 1)^{n - 1} a_{1} a_{2} \dots a_{n} (i = 1 \sum n \frac{x _{i}}{a _{i}} - 1)

2. 求和法

问题 2

设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是方程 $x^{3} + p x + q = 0$ 的三个根，计算： $det A = x_{1} x_{2} x_{3} x_{2} x_{3} x_{1} x_{3} x_{1} x_{2}$

由 Vieta 定理得 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ 。注意到每行元素总和均为 0，故将后两列加到第一列，第一列变为 0，故行列式值为 0。

此外有一种模型每行除主对角线外元素均相等。

问题 3

计算 $n$ 阶行列式：
$∣ A ∣ = a_{1} + b a_{1} a_{1} ⋮ a_{1} a_{2} a_{2} + b a_{2} ⋮ a_{2} a_{3} a_{3} a_{3} + b ⋮ a_{3} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n} a_{n} ⋮ a_{n} + b$

从第二列起将各列依次加到第一列上并提取公因子 $b + \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ ，得到：

∣ A ∣ = (b + i = 1 \sum n a_{i}) 111 ⋮ 1 a_{2} a_{2} + b a_{2} ⋮ a_{2} a_{3} a_{3} a_{3} + b ⋮ a_{3} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n} a_{n} ⋮ a_{n} + b

第一行乘以 -1 依次加到后面每一行，得到：

∣ A ∣ = (b + i = 1 \sum n a_{i}) b^{n - 1} . □

3. 递推法与数学归纳法

参考行列式的转置。

此外有经典模型（三对角行列式）：

问题 4

求下列行列式的递推关系式（空白处均为 0）：
$D_{n} = a_{1} c_{1} b_{1} a_{2} c_{2} b_{2} a_{3} ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a_{n - 1} c_{n - 1} b_{n - 1} a_{n}$

当 $n \geq 2$ 时，注意到 $a_{n}$ 的余子式是 $D_{n - 1}$ ， $b_{n - 1}$ 的余子式中 $c_{n - 1}$ 的余子式是 $D_{n - 2}$ ，故 $D_{n}$ 按最后一列进行展开可得：

D_{n} = a_{n} D_{n - 1} - b_{n - 1} c_{n - 1} D_{n - 2} (n \geq 2), D_{0} = 1, D_{1} = a_{1} . □

注：令 $b_{1} = \dots = b_{n - 1} = 1, c_{1} = \dots = c_{n - 1} = - 1$ ，则行列式 $D_{n}$ 与连分数密切相关。进一步，令 $a_{1} = \dots = a_{n} = 1$ ，则行列式 $D_{n}$ 满足：

D_{n} = D_{n - 1} + D_{n - 2} (n \geq 2), D_{0} = 1, D_{1} = 1,

这就是著名的 Fibonacci 数列。

4. 拆分法

已知一个

det A (t) = a_{11} + t a_{21} + t ⋮ a_{n 1} + t a_{12} + t a_{22} + t ⋮ a_{n 2} + t a_{13} + t a_{23} + t ⋮ a_{n 3} + t \dots \dots \dots a_{1 n} + t a_{2 n} + t ⋮ a_{nn} + t

则 $det A (t) = det A (0) + t \sum_{i, j = 1}^{n} A_{ij}$ 。在实际应用中往往通过逆用对 $t$ 进行多次赋值得到结果。

问题 5

$det A = a c ⋮ c b a ⋮ c \dots \dots \dots b b ⋮ a$

令

det A (t) = a + t c + t ⋮ c + t b + t a + t ⋮ c + t \dots \dots \dots b + t b + t ⋮ a + t = det A + t i, j = 1 \sum n A_{ij}

分别令 $t = - b, t = - c$ ，则

det A = \frac{b ( a - c ) ^{n} - c ( a - b ) ^{n}}{b - c}

5. 抽屉原理

问题 6

设 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{n} (x)$ 是次数不超过 $n - 2$ 的多项式，求证：对于任意 $n$ 个数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 均有 $f_{1} (a_{1}) f_{1} (a_{2}) ⋮ f_{1} (a_{n}) f_{2} (a_{1}) f_{2} (a_{2}) ⋮ f_{2} (a_{n}) \dots \dots \dots f_{n} (a_{1}) f_{n} (a_{2}) ⋮ f_{n} (a_{n}) = 0$

证明：因为 $f_{k} (x) (1 \leq k \leq n)$ 的次数不超过 $n - 2$ ，所以他们都是单项式 $1, x, \dots, x^{n - 2}$ 的线性组合。将原行列式每一列多项式都按这 $n - 1$ 个单项式进行拆分，最后得到若干个简单行列式之和，这些行列式中每一项的多项式只是单项式。由于行列式有 $n$ 列，根据抽屉原理，至少有两列是共用一个单项式（可能相差系数），于是这两列成比例，即行列式为 0。

6. 升阶法

问题 7

计算 $n$ 阶行列式:
$∣ A ∣ = 1 + x_{1} 1 + x_{2} ⋮ 1 + x_{n} 1 + x_{1}^{2} 1 + x_{2}^{2} ⋮ 1 + x_{n}^{2} \dots \dots \dots 1 + x_{1}^{n} 1 + x_{2}^{n} ⋮ 1 + x_{n}^{n} .$

行列式可升阶为：

∣ A ∣ = 111 ⋮ 1 0 1 + x_{1} 1 + x_{2} ⋮ 1 + x_{n} 0 1 + x_{1}^{2} 1 + x_{2}^{2} ⋮ 1 + x_{n}^{2} \dots \dots \dots \dots 0 1 + x_{1}^{n} 1 + x_{2}^{n} ⋮ 1 + x_{n}^{n} = 111 ⋮ 1 - 1 x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} - 1 x_{1}^{2} x_{2}^{2} ⋮ x_{n}^{2} \dots \dots \dots \dots - 1 x_{1}^{n} x_{2}^{n} ⋮ x_{n}^{n}

∣ A ∣ = 211 ⋮ 1 0 x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} 0 x_{1}^{2} x_{2}^{2} ⋮ x_{n}^{2} \dots \dots \dots \dots 0 x_{1}^{n} x_{2}^{n} ⋮ x_{n}^{n} + - 1 11 ⋮ 1 - 1 x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} - 1 x_{1}^{2} x_{2}^{2} ⋮ x_{n}^{2} \dots \dots \dots \dots - 1 x_{1}^{n} x_{2}^{n} ⋮ x_{n}^{n} .

后因一个行列式的第一行提出公因子 -1 后是一个关于 $1, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的 Vandermonde 行列式：

∣ A ∣ = (2 x_{1} x_{2} \dots x_{n} - i = 1 \prod n (x_{i} - 1)) 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i}) .

7. 求根法

问题 8

求下列行列式的值：
$∣ A ∣ = 1122 1 2 - x^{2} 33 2211 335 9 - x^{2}$

以 $x$ 为主元，最高次项为 4 次，系数为 -3。又注意到 $2 - x^{2} = 1 ⟹ x^{2} = 1$ 时第 1、2 行相同， $9 - x^{2} = 5 ⟹ x^{2} = 4$ 时第 3、4 行相同，行列式为 0。则行列式的根为 $\pm 1, \pm 2$ 。即

∣ A ∣ = - 3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4)

8. 行列式求导

设 $f_{ij} (t)$ 是可微函数，

F (t) = f_{11} (t) f_{21} (t) ⋮ f_{n 1} (t) f_{12} (t) f_{22} (t) ⋮ f_{n 2} (t) \dots \dots \dots f_{1 n} (t) f_{2 n} (t) ⋮ f_{nn} (t)

则 $\frac{d}{d t} F (t) = \sum_{j = 1}^{n} F_{j} (t)$ ，其中

F_{j} (t) = f_{11} (t) f_{21} (t) ⋮ f_{n 1} (t) f_{12} (t) f_{22} (t) ⋮ f_{n 2} (t) \dots \dots \dots \frac{d}{d t} f_{1 j} (t) \frac{d}{d t} f_{2 j} (t) ⋮ \frac{d}{d t} f_{nj} (t) \dots \dots \dots f_{1 n} (t) f_{2 n} (t) ⋮ f_{nn} (t)

9. 循环行列式

$n$ 阶行列式：

∣ A ∣ = 1 n n - 1 ⋮ 32 21 n ⋮ 43 321 ⋮ 54 \dots \dots \dots \dots \dots n - 1 n - 2 n - 3 ⋮ 1 n n n - 1 n - 2 ⋮ 21

将后 $n - 1$ 列加到第一列，提出公因子 $\frac{1}{2} n (n + 1)$ ，用第 $(1, 1)$ 元消去其他元素，再按第一列展开得：

∣ A ∣ = \frac{1}{2} n (n + 1) 100 ⋮ 00 2 - 1 n - 2 ⋮ 21 3 - 1 - 2 ⋮ 21 \dots \dots \dots \dots \dots n - 1 - 1 - 2 ⋮ 2 - n 1 n - 1 - 2 ⋮ 2 - n 1 - n = \frac{1}{2} n (n + 1) - 1 n - 2 ⋮ 21 - 1 - 2 ⋮ 21 \dots \dots \dots \dots - 1 - 2 ⋮ 2 - n 1 - 1 - 2 ⋮ 2 - n 1 - n .

用所得 $n - 1$ 阶行列式的第 $(1, 1)$ 元消去同行的其他元素，再按第一行展开得到 $n - 1$ 阶上三角行列式：

∣ A ∣ = \frac{1}{2} n (n + 1) - 1 n - 2 ⋮ 21 0 - n ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots 0 - n ⋮ - n 0 0 - n ⋮ - n - n = - \frac{1}{2} n (n + 1) - n \dots ⋱ - n ⋮ - n - n ⋮ - n = (- 1)^{n - 1} \frac{n + 1}{2} n^{n - 1} .

10. 降阶法

若 $A$ 可逆，则 $A C B D = ∣ A ∣∣ D - C A^{- 1} B ∣$ 若 $D$ 可逆，则 $A C B D = ∣ D ∣∣ A - B D^{- 1} C ∣$ 若 $A, D$ 均可逆，则上述两式相等。

核心想法

当一个矩阵明显可以拆分成两个矩阵之和的形式，且其中一个矩阵较为容易计算，另一个矩阵能分解成两个矩阵的乘积，则可以考虑降阶法。

问题 9

求下列矩阵的行列式的值：
$A = a_{1}^{2} a_{2} a_{1} + 1 ⋮ a_{n} a_{1} + 1 a_{1} a_{2} + 1 a_{2}^{2} ⋮ a_{n} a_{2} + 1 \dots \dots \dots a_{1} a_{n} + 1 a_{2} a_{n} + 1 ⋮ a_{n}^{2}$

将 $A$ 化为

A = - I_{n} + a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} 11 ⋮ 1 I_{2} (a_{1} 1 a_{2} 1 \dots \dots a_{n} 1)

由降阶公式得到

∣ A ∣ = ∣ I_{2} ∣ \cdot ∣ - I_{n} ∣ \cdot I_{2} + (a_{1} 1 a_{2} 1 \dots \dots a_{n} 1) (- I_{n})^{- 1} a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} 11 ⋮ 1 = (- 1)^{n} I_{2} - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} n) = (- 1)^{n} (1 - n) (1 - i = 1 \sum n a_{i}^{2}) - (i = 1 \sum n a_{i})^{2} .

笔记目录

1. 爪型行列式

2. 求和法

3. 递推法与数学归纳法

4. 拆分法

5. 抽屉原理

6. 升阶法

7. 求根法

8. 行列式求导

9. 循环行列式

10. 降阶法