计算闵可夫斯基和的一般范式

Tip

闵可夫斯基和$A+B$不存在一个统一的、适用于所有集合的代数计算公式。其计算范式完全依赖于集合$A$和$B$的表示方式 与其内在的几何或代数结构。因此，核心问题是识别集合的特性（如凸性、几何形状、代数构造等），并选择与之匹配的最高效的计算框架。

1. 范式一：几何直观法

此范式基于闵可夫斯基和的几何定义，通过平移与并集来构造和集。 $A+B={\bigcup }_{a\in A}(a+B)={\bigcup }_{b\in B}(A+b)$ 在直观上，可想象将集合$B$作为一个“探针”，使其原点遍历集合$A$中的每一点，探针所扫过的区域即为$A+B$。

• 典型示例：
  1. 区间 (Intervals in $\mathbb{R}$)： 若 $A=[a_1,a_2]$, $B=[b_1,b_2]$，则 $A+B=[a_1+b_1,a_2+b_2]$
  2. 正方形 (Squares in ${\mathbb{R}}^2$)： 若 $A=[0,s_1]\times [0,s_1]$, $B=[0,s_2]\times [0,s_2]$，则 $A+B=[0,s_1+s_2]\times [0,s_1+s_2]$
  3. 圆盘 (Disks in ${\mathbb{R}}^2$)： 若 $A=\bar{B}(0,r_1)$ (以原点为中心、半径为$r_1$的闭圆盘)，$B=\bar{B}(0,r_2)$，则 $A+B=\bar{B}(0,r_1+r_2)$

2. 范式二：支撑函数法

这是处理凸集时最核心的分析工具，它将集合间的运算转化为函数间的运算。

定义1

一个紧集$K\subset {\mathbb{R}}^d$的支撑函数$h_K:S^{d-1}\to \mathbb{R}$定义为： $h_K(u)={\sup }_{x\in K}⟨x,u⟩$ 其中$u$为单位向量，$S^{d-1}$是$d-1$维单位球面。$h_K(u)$给出了集合$K$在方向$u$上的“最远距离”。对于紧凸集，$h_K(u)$唯一地确定该集合。

闵可夫斯基和在此框架下表现出优异的代数性质：集合的加法对应于支撑函数的加法。

定理1

对于紧凸集$A,B\subset {\mathbb{R}}^d$，其闵可夫斯基和的支撑函数满足： $h_{A+B}(u)=h_A(u)+h_B(u)$

• 计算流程：
  1. 分别计算集合$A$和$B$的支撑函数$h_A(u)$和$h_B(u)$。
  2. 求和得到$h_{A+B}(u)$。
  3. 从$h_{A+B}(u)$反推出和集$A+B$（通常是求解一个由半空间交集定义的凸体）。

3. 范式三：代数表示法

• 思想：将集合元素用特定的数系（如三进制）展开，闵可夫斯基和的计算就转化为对展开式系数的组合问题。
• 示例：令$\mathcal{C}$为标准康托集。
  1. 集合表示： $\mathcal{C}=\{x={\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{a_k}{3^k}\mid a_k\in \{0,2\}\}$ $\mathcal{C}/2=\{y={\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{b_k}{3^k}\mid b_k\in \{0,1\}\}$
  2. 求和构造： 对于任意$z\in$，其三进制展开为$z=\sum \frac{z_k}{3^k}$，$z_k\in \{0,1,2\}$。 我们总能构造序列$a_k\in \{0,2\}$和$b_k\in \{0,1\}$使得$a_k+b_k=z_k$。 （若$z_k=0$,取$a_k=0,b_k=0$；若$z_k=1$,取$a_k=0,b_k=1$；若$z_k=2$,取$a_k=2,b_k=0$）。 因此，任意$z\in$均可表示为一个$\mathcal{C}$中元素与一个$\mathcal{C}/2$中元素之和，故$\mathcal{C}+\mathcal{C}/2=$。

4. 与测度的关系：布伦-闵可夫斯基不等式

这并非一个直接的计算范式，但它揭示了闵可夫斯基和与勒贝格测度之间深刻的结构性关系。

定理2

对于${\mathbb{R}}^d$中的非空紧集$A$和$B$，其勒贝格测度$m(\cdot )$满足： $[m(A+B){]}^{1/d}\ge [m(A){]}^{1/d}+[m(B){]}^{1/d}$

此不等式定量地刻画了闵可夫斯基和的“体积膨胀”效应。特别地，当$m(A)=0$且$m(B)=0$时，不等式仅给出下界$m(A+B)\ge 0$，这与$A+B$可能具有正测度的现象完全相容。