转置与伴随

行列式的转置

问题

$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}{x}_1& y& y& \cdots & y& y\\ z& x_2& y& \cdots & y& y\\ z& z& x_3& \cdots & y& y\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ z& z& z& \cdots & x_{n-1}& y\\ z& z& z& \cdots & z& x_n\end{array}\right|$

通过行列式转置值不变可以得到很多优美的代数性质

对第n列进行拆分即可得到递推公式：

同理转置有 $D_n=(x_n-z)D_{n-1}+z{\prod }_{i=1}^{n-1}(x_i-y)$ 后分$y\ne z$和$y=z$两种情况讨论

问题2

设$|\mathbf{A}|$是奇数阶矩阵，满足$A{A}^{\prime }=I_n$且$|\mathbf{A}|>0$，证明$I_n-A$是奇异阵

$1=|I_n|=|A{A}^{\prime }|=|A||A^{\prime }|=|A{|}^2$ 因为$|I_n-A|=|A{A}^{\prime }-A|=|A||A^{\prime }-I_n|=|(A-I_n{)}^{\prime }|=|A-I_n|$ 又$n$为奇数，故$|I_n-A|=-|I_n-A|$ 从而得证

行列式的伴随

结论

$(cA{)}^{\ast }=c^{n-1}{A}^{\ast }$ $|A{|}^{n-1}=|A^{\ast }|$

对结论2的应用：

问题3

已知 ${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& 2& -2\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$ ，求 $\mathbf{A}$ ．

计算行列式可得 $\left|{\mathbf{A}}^{\ast }\right|=4$ ，由例 2.38 可知，$\left|{\mathbf{A}}^{\ast }\right|=\mid {\mathbf{A}}^2=4$ ，从而 $|\mathbf{A}|=\pm 2$若 $|\mathbf{A}|=2$ ，则

于是

若 $|\mathbf{A}|=-2$ ，则 ${\mathbf{A}}^{-1}=-\frac{1}{2}{\mathbf{A}}^{\ast }$ ，于是