部分积的上界估计与Gautschi不等式

问题1

证明:${\prod }_{n=1}^N\left(1-\frac{1}{2n}\right)<\frac{1}{\sqrt{2N}}$

转换为对部分和的估计：

问题2：问题1的等价命题

${\sum }_{n=1}^N\log \left(1-\frac{1}{2n}\right)<-\frac{1}{2}\log (2N)$

1. 逐项放缩

1.1 利用函数$\log (1+x)\le x$的放缩方法

首先考虑逐项估计的办法，令$S_N:={\sum }_{n=1}^N\log \left(1-\frac{1}{2n}\right)$于是$\begin{array}{rl}{S}_N& \le -\log (2)-\frac{1}{2}\sum _{n=2}^N\frac{1}{n}\\ & =-\log (2)-\frac{1}{2}(H_N-1)\end{array}$而真正适合做积分放缩的是其中的调和数的序列$H_N$，因为其中被求和的每一项$\frac{1}{n}$其积分都是足够简单的。而现在我们要做的也正是要证明

引理2.1.1

$H_N$表示第$N$个调和数，那么对任意正整数$N$都有 $H_N>\log (N)+\frac{1}{2}$

于是$S_N\le -\frac{1}{2}\log (N)+\frac{1}{4}-\log (2)<-\frac{1}{2}\log (N)-\frac{1}{2}\log (2)=-\frac{1}{2}\log (2N)$于是不等式成立。

1.2 加强命题验证差分的不等式

验证差分的失败

首先尝试3.从结果开始逐项放缩的做法中的直接验证差分的方法。也就是说我们为了验证$S_N:={\sum }_{n=1}^N{a}_n<U_N$，也就是“问题2”当中对应的那个问题，我们希望尝试一个更强的命题，即验证是否有$S_{N+1}-S_N=a_{N+1}<\Delta U_N$是否对任意正整数$N$成立。对应具体的问题，也就是验证对任意正整数$N$是否成立$\log \left(1-\frac{1}{2(N+1)}\right)<-\frac{1}{2}\left(\log (2N+2)-\log (2N)\right)$该不等式等价于$\log (2N+1)<\frac{\log (2N+2)+\log (2N)}{2}$但这是不对的，因为$\log (x)$是一个concave的函数，成立不等式$\frac{\log (x)+\log (y)}{2}\le \log ((x+y)/2)$不等式号恰好是反的，因此这个想法注定失败。

1.3 制造telescoping sum

想法2.3.1:利用concave性制造的telescoping sum

详细参考^d27913，借助对数函数的concave性质，我们得到$\log (2n)-\log (2n-1)\ge \frac{\log (2n+1)-\log (2n-1)}{2}$而后者是一个telescoping sum，其和的精度正好符合“问题2”的要求。

根据以上想法$\begin{array}{rl}{S}_N=-\sum _{n=1}^N\log (2n)-\log (2n-1)& \le \sum _{n=1}^N\frac{\log (2n-1)-\log (2n+1)}{2}\\ & =-\frac{\log (2N+1)}{2}\\ & <-\frac{1}{2}\log (2N)\end{array}$

2. 此问题与$\Gamma$函数之间的关系

从上面的“核心想法”的角度来看，基本出发点都是：“认为$P_N$或者$\log (P_N)$其本身不是一个简单的或者我们熟悉的形式，因此需要放缩成一个新的简单的或者熟悉的形式”。

而这一节的解法的出发点则是：“$P_N$真的不熟悉吗？不！其实$P_N$我们还是比较熟悉的！”并且最后的结果告诉我们，这样做精度能达到更好。 $P_N={\prod }_{n=1}^N\left(1-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\frac{\Gamma (N+1/2)}{\Gamma (N+1)}$这个结果可以从Wallis公式其中一个步骤得到:$P_N=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin (t{)}^{2N}dt$考虑到这个积分和beta函数之间的关系:$\beta (z_1,z_2)=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin (t{)}^{2z_1-1}\cos (t{)}^{2z_2-1}dt$所以上述的乘积我们可以写成$P_N=\frac{1}{\pi }\beta (N+\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{\pi }\frac{\Gamma (N+\frac{1}{2})\Gamma (\frac{1}{2})}{\Gamma (N+1)}$此时如果我们用Gautschi不等式:

Gautschi不等式,1959

当$s\in (0,1),x>0$的时候:$x^{1-s}<\frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}<(1+x{)}^{1-s}$

放在此问题当中$s=1/2$:$\frac{1}{\sqrt{\pi (N+1)}}<P_N<\frac{1}{\sqrt{\pi N}}$那么自然$P_N<\frac{1}{\sqrt{\pi N}}<\frac{1}{\sqrt{2N}}$