雅可比行列式

雅可比行列式作为链接实分析与复分析甚至泛函分析的桥梁显得无比重要与完美，并且只要满足如果$E\in \mathcal{L}$，那么$L(E)\in \mathcal{L}$就可以保证他不会改变可测性可测集合线性变换后的测度，我们以一个例子来引入。

引入

我们想计算一个二重积分${\int }_0^{\infty }dy{\int }_0^{\infty }\frac{x}{y}{e}^{-(y+\frac{x}{y})}dx$

可以很明显的注意到有$\frac{x}{y}$的结构，那么如果能够尝试把$dx$变成$d\frac{x}{y}$的话似乎就能变为熟悉的结构。

这要求一个较为松散的条件，Fubini-Tonelli定理是一个完美的选择，我们先来验证他：他首先是可测的，又自然的满足非负的条件，虽然y=0时可能出现问题，但只需补充定义即可。

如果我们把 ${\mathbb{R}}^{+}$ 看作一个乘法群，那么做变换 $u=x,v=y/x$ 确实类似于在处理群结构。$y/x$ 就像是 $y\cdot x^{-1}$，这确实是一种“商”的操作,他本质上是一个群自同构。在这个变换下，原本纠缠在一起的函数 $e^{-y-x/y}$（$x$ 和 $y$ 耦合）变成了 $e^{-xu-v}$。虽然在指数上 $x$ 和 $u$ 还是耦合的，但在我们刚才的计算中，通过巧妙的积分顺序，它们实现了解耦：最终变成了两个独立积分的乘积。

但是，这种直觉是欠修正的，因为积分是在勒贝格测度空间 $({\mathbb{R}}^n,dx)$ 上进行的。勒贝格测度 $dx$ 是关于加法平移不变的（$d(x+a)=dx$），它对乘法并不友好。但做乘法变换时，是在用乘法结构去扭曲一个加法测度空间。

Tip

雅可比行列式就是这种“扭曲”的量化代价。当强行把乘法结构（$y/x$）塞进加法测度（$dy$）的框架里时，体积膨胀或收缩了多少。

从实分析到泛函分析

我们需要支付的报酬实在过高，因此会去考虑一种”免费”的方式，让“群作用”在积分层面上不再产生额外代价。

把$({\mathbb{R}}^{+})$ 看成乘法群$(G)$，它的哈尔测度是

$d\mu (x)=\frac{dx}{x}$ 在这个测度下，乘法平移是“等体积”的。也就是说，对任意 (a>0)

$\int f(ax)\frac{dx}{x}=\int f(x)\frac{dx}{x}$

如果我们用哈尔测度重写刚才的积分： $\int \int \frac{x}{y}{e}^{-y-x/y}dxdy$ 我们可以凑出哈尔测度 $\frac{dx}{x}$ 和 $\frac{dy}{y}$： $\int \int \left(x^2\cdot \frac{x}{y}{e}^{-y-x/y}\right)\frac{dx}{x}\frac{dy}{y}$

在哈尔测度里，变量代换 $(x,y)\to (x,y/x)$ 的雅可比行列式通常是 1，因为测度本身已经适应了乘法结构。

从实分析到复分析

与此同时，他与共形映射和柯西黎曼方程同样有着紧密的联系

在复分析的视角下，雅可比行列式不再仅仅是一个冷冰冰的“体积换算因子”，它变成了复导数模长的平方：

Note

我们考虑一个复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中 $z=x+iy$。 我们可以将其视为一个从 ${\mathbb{R}}^2$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的向量场映射：$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\stackrel{f}{\to }\left(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right)$

这个映射的实雅可比矩阵是:

$J_f=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)$

我们将柯西黎曼方程代入上式，雅可比矩阵变成了：

$J_f=\left(\begin{array}{cc}{u}_x& -v_x\\ v_x& u_x\end{array}\right)$

这正是旋转缩放矩阵的标准形式。它可以写成：

$J_f=r\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

其中 $r=\sqrt{u_x^2+v_x^2}=|f^{\prime }(z)|$ 是缩放因子，$\theta$ 是旋转角。

这说明全纯函数在局部的线性近似只包含旋转和均匀缩放,对应着共形映射保角的本质。

不过并非所有雅可比行列式为正的映射都是共形的，因为共形要求微元不仅面积变化有规律，而且形状不变但雅可比只要求定向面积不为零且方向不变。

反例

考虑映射：$u(x,y)=2x,v(x,y)=y$

他的雅可比矩阵： $J=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 诱导的行列式大于0 但是，他既不满足共形也不满足C-R方程。

Tip

复分析中的全纯函数之所以完美，是因为它将雅可比矩阵强行锁定为“旋转+缩放”的结构。在这种强约束下，雅可比行列式 $\det J$ 不仅代表了面积的缩放，还直接等于线性缩放因子 $|f^{\prime }(z)|$ 的平方。