1. 定理及其证明

1.1 分母单调无界的情形

Cesaro-Stolz定理的分母无界的情形

假设 $a_{n}, b_{n}$ 是两个实数序列，并且其中 $b_{n}$ 是严格单调并且无界的，那么如果 $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1} - a _{n}}{b _{n + 1} - b _{n}} = L$ 那么 $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}} = L$

证明的思路可以参考Silverman–Toeplitz定理的途径。

主要想法

我们可以把一个序列(或者序列的一部分)展开为其差分和，这样我们可以把问题转换为对部分和的处理，往往有些时候这允许我们对原序列进行更为细致的操作。

遵照这种想法解决问题的情况还有:一个递推序列的渐近问题，通过倒数制造差分关系，Riesz-Fischer定理。

因为我们可以把 $\frac{x _{n}}{y _{n}}$ 的分子写成差分和的形式（假设 $x_{0} = y_{0} = 0$ ），从而 $\frac{x _{n}}{y _{n}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{x _{k} - x _{k - 1}}{y _{n}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{y _{k} - y _{k - 1}}{y _{n}} \frac{x _{k} - x _{k - 1}}{y _{k} - x _{y - 1}}$ 于是我们把一个序列展开为了一个部分和的形式。

现在假设 $a_{nk} := \frac{y _{k} - y _{k - 1}}{y _{n}}$ ,其满足：

关于 $k$ 的和为1，即: $\sum_{k = 1}^{n} a_{nk} = 1$
对于任意固定的 $k$ , $a_{nk} \to 0$ 。并且我们还发现 $\frac{x _{k} - x _{k - 1}}{y _{k} - x _{y - 1}} \to L$ ,也就是说其极限是存在的，且为 $L$ 的，因此由Silverman–Toeplitz定理，上面的部分和随着 $n$ 趋于无穷，存在极限且为 $L$ ,也就是说 $\frac{x _{n}}{y _{n}} \to L$

1.2 分母单调无界的一般情况

定理1.2:一般情况下的Stolz-Cesaro定理

$x_{n}, y_{n}$ 是两个实数列，并且 $y_{n}$ 单调无界，那么 $lim inf_{n \to \infty} \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}} \leq lim inf_{n \to \infty} \frac{x _{n}}{y _{n}} \leq lim sup_{n \to \infty} \frac{x _{n}}{y _{n}} \leq lim sup_{n \to \infty} \frac{x _{n + 1} - x _{n}}{y _{n + 1} - y _{n}}$

证明参考： https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem

笔记目录

1. 定理及其证明

1.1 分母单调无界的情形

1.2 分母单调无界的一般情况

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