n维球体的体积

命题

${\mathbb{R}}^n$当中的$n$维球体的体积公式为$\frac{{\pi }^{d/2}}{\Gamma (d/2+1)}{r}^d$

在为何圆的周长与直径的比例是常数里面我们已经讨论过给集合做伸缩变换后对测度的影响，那么我们可以很直接的知道，对于半径为$r$的球，其测度实际上就是单位球测度的$r^d$次方.因此实际上我们只需要计算单位球的测度。

Fubini-Tonelli定理告诉我们，如果要求一个product space当中的集合的测度，我们可以给这个集合做”切片”。

切片的本质

如果$E$是${\mathbb{R}}^{d_1}\times {\mathbb{R}}^{d_2}$当中的一个可测集合，那么对于几乎每个$y\in {\mathbb{R}}^{d_2}$都有切片,$E^y=\{x\in {\mathbb{R}}^{d_1}:(x,y)\in E\}$ 这种切片都是可测的集合，并且$m(E^y)$是关于$y$的可测函数，并且$m(E)={\int }_{{\mathbb{R}}^{d_2}}m(E^y)dy$同样的也有对几乎每个$x\in {\mathbb{R}}^{d_1}$都有切片,$E_x=\{x\in {\mathbb{R}}^{d_1}:(x,y)\in E\}$这种切片都是可测的集合，并且$m(E_x)$是关于$x$的可测函数，并且$m(E)={\int }_{{\mathbb{R}}^{d_1}}m(E_x)dx$

其本质不过是Fubini - Tonelli定理应用在函数${\chi }_E(x,y)$上而已。

这里有两种切片的办法。

1. 第一种切片方法$A_x$

由函数围成的区域的Lebesgue测度

$f(x)$是${\mathbb{R}}^k$上的一个非负的函数，集合$A:=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^k\times \mathbb{R}:0\le y\le f(x)\}$ 那么这个集合的”面积”可以用积分来计算，公式如下: ${\int }_{{\mathbb{R}}^k}f(x)dx=m(A)$ 这里的$m$是集合的Lebesgue测度。

这种切片的方法相当于是固定好$x=(x_1,...,x_k)\in {\mathbb{R}}^k$的这些变量，只让$y$一个变量进行活动。于是这个问题当中集合$A$可以理解为是由所有的这些个$A_x=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^k\times \mathbb{R}:(x,y)\in A\}$所构成的。这里为了满足$(x,y)\in A$这个条件，我们需要$y\in [0,f(x)]$成立,所以 $m(A)={\int }_{{\mathbb{R}}^k}m(A_x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^k}f(x)dx$

对于这个球的体积的问题，我们考虑单位半球的集合$B_{+}^d=\{(x_1,...,x_d)\in {\mathbb{R}}_{+}^d:x_1^2+...+x_d^2\le 1\}$按照以上的切片方式，我们有$B_{+}^d=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}_{+}^{d-1}\times \mathbb{R}:0\le y\le g(x)\}$其中$g(x_1,...,x_{d-1})=\sqrt{1-(x_1^2+...+x_{d-1}^2)}{\chi }_{x_i\in [-1,1]}$.假设$d$维球体的体积为$v_d$那么单位球的体积可以计算为$v_d=2{\int }_{[-1,1{]}^{d-1}}\sqrt{1-(x_1^2+...+x_{d-1}^2)}dx$ 这个积分最终可以使用极坐标变换来计算，但是如果是这样的话，为何我不一开始就选择使用极坐标来计算呢？事实上我们的确可以一开始便选择极坐标来计算，这就是后面的第三种想法。

根据以上结果，显然这种切片的办法并不是计算上最好算的。

2.第二种切片方法$A^y$

如果我们固定$y,x=(x_1,...,x_k)$也就是说，我们只固定一个变量，让其他变量变动起来。$A^y=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^{d-1}\times \mathbb{R}:(x,y)\in A\}$然后我们可以把集合的测度计算为 $m(A)={\int }_{\mathbb{R}}m(A^y)dy$ 对于这个求球的体积的问题我们需要考虑切片$B_{+}^y=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}_{+}^{d-1}\times \mathbb{R}:(x,y)\in A\}$，以上切片便成为了为了满足后面的条件$(x,y)\in B_{+}^d$那么就需要满足条件$0\le ||x||\le \sqrt{1-y^2}$。，实际上$m(B_{+}^y)=v_{d-1}(1-y^2{)}^{\frac{d-1}{2}}$ 这样的话，单位$d$维球体的测度就变成了$\begin{array}{rl}{v}_d=2{\int }_0^{1}m(A^y)dy& =2{\int }_0^1{v}_{d-1}(1-y^2{)}^{\frac{d-1}{2}}dy\\ & =\beta \left(\frac{1}{2},\frac{d+1}{2}\right)v_{d-1}\\ & =\frac{{\pi }^{d/2}}{\Gamma (d/2+1)}\end{array}$

3. 极坐标上的积分

所谓极坐标，就是我们可以把任意$x\in {\mathbb{R}}^d-\{0\}$的点认为是在单位球面$S^{d-1}=\{x\in {\mathbb{R}}^d:|x|=1\}$的某个点乘这个数的模长对应的实数得到的。即定义$\omega =\frac{x}{|x|}$,以及$r=|x|$从而$x=r\omega$.这样我们相当于把${\mathbb{R}}^d-\{0\}$视为一个product space,${\mathbb{R}}^d-\{0\}=S^{d-1}\times {\mathbb{R}}^{+}$ 那么在${\mathbb{R}}^d-\{0\}$上的积分可以借助(抽象测度的)Fubini-Tonelli定理来处理，从而得到:

${\int }_{{\mathbb{R}}^d}f(x)dx={\int }_{S^{d-1}}\left({\int }_0^{\infty }f(r\omega )r^{d-1}dr\right)d\sigma (\omega )$

其中$\sigma$是在单位球面$S^{d-1}$上的测度(更详细的情况可以见Fubini定理的一个应用，极坐标变换下的积分)。

对于球的体积问题，我们可以把对单位球$B^d$的测度表示特征函数的积分,然后再利用极坐变换把积分处理为$m(B^d)={\int }_{{\mathbb{R}}^d}{\chi }_{B^d}dx={\int }_{S^{d-1}}{\int }_0^1{r}^{d-1}drd\sigma (\omega )=\frac{1}{d}\sigma (S^{d-1})$ 这里做极坐标变换的时候${\chi }_{B^d}$约束的条件实际上是$|x|\le 1$，这个条件做极坐标变换的时候变成了$|r\omega |=r\le 1$于是便有了上面的式子。

那么为了得到单位球的体积的结果，首先需要确认球面的面积的结果。这个结果可以通过高斯积分的一个推广结果并结合极坐标公式得到。

高斯积分公式的推广

${\int }_{{\mathbb{R}}^d}{e}^{-\pi |x{|}^2}dx=1$

而这个积分我们可以使用极坐标变换的积分式子得到 ${\int }_{{\mathbb{R}}^d}{e}^{-\pi |x{|}^2}dx={\int }_{S^{d-1}}{\int }_0^{\infty }{e}^{-\pi r^2}{r}^{d-1}dr\sigma (\omega )=\sigma (S^{d-1}){\int }_0^{\infty }{e}^{-\pi r^2}{r}^{d-1}dr$ 其中最后的那个无穷积分，实际上和$\Gamma$函数有关系。通过变量替换，我们可以用$\Gamma$函数的来表达最后的结果$\sigma (S^{d-1})=\frac{2{\pi }^{d/2}}{\Gamma (d/2)}$ 因此便可以得到n维球体的体积$v_d=\frac{{\pi }^{d/2}}{\Gamma (d/2+1)}$