定义为

这是一种对曲面引起的体积变化率的积分：理想四面体的几何会由二面角表示，而Schläfli 体积微分公式会产生对数形式，两者组合起来就是$-\log \left|2\sin t\right|$。

我感觉这个式子不是定义来恰好等于体积的，而是把体积拆成基本部分记作一个记号而已。

一些基本性质

对称性

观察函数，有不错的对称性并且周期是$\pi$，同时还是奇函数，合起来就是
$\Lambda (\pi -\theta )=-\Lambda (\theta )$

傅里叶展开

$\Lambda (\theta )=\frac{1}{2}{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{sin(2n\theta )}{n^2}$
我们先考虑$-log(1-z)={\int }_0^z\frac{1}{1-w}dw={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{z^n}{n}$
我们取$z=r{e}^{2i\theta }$那么取极限$r=1$有$-log(1-e^{2i\theta })={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{e^{2in\theta }}{n}$

我们取实部，右侧比较好取，左侧有结论$Re(log(1-z))=log|1-z|$:
$-log|1-e^{2i\theta }|={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{cos(2n\theta )}{n}$

然后再对两边求一次积分就是展开式

对ideal simplex体积的求解

我们考虑理想四边形的投影T，那么他的体积可以表示成积分

更一般的情况

需要满足
${\sum }_{i=1}^n{a}_i=\pi Volume({\sum }_{a_1,...,a_n})={\sum }_{i=1}^n\Lambda (a_i)$

即只要能满足粘和方程都能通过分解求解（是否存在一种不由理想四面体的作为单位分解元素的体积求解方法？）